Cum constrium o banda a lui Möbius?

Se ia o banda de hartie si se aseaza pe masa, se noteaza colturile ca in figura de mai jos. (stanga-sus si dreapta-jos cu A, dreapta sus si stanga jos cu B). Incolaciti apoi banda astfel incat colturile cu aceeasi litera sa se atinga, rasucind-o o data, lipiti apoi marginile care se ating.

Proprietati ale benzii lui Möbius:

Doua puncte se zice ca sunt pe aceeasi fata daca se pot uni printr-o linie curba care sa nu sara vreo margine.

Trasati o linie pe mijlocul benzii, fara a ridica creionul de pe banda. Nu va opriti pana nu ajungeti din nou in punctul din care ati pornit. (nu va faceti griji ca linia nu a iesit perfect dreapta, ideea principala este sa nu sara marginea)

Constatati ca linia este trasa pe ambele parti, si ca din orice punct al benzii se poate ajunge la linie. Asadar, ca sa unim doua puncte oarecare ale suprafetei benzii, A si B, pornind din A, este suficient sa unim A cu linia, sa mergem pe linie pana in dreptul lui B, apoi sa unim linia cu B. Deci, suprafata are O SINGURA FATA.

Cu o carioca colorati punctele de margine, fara sa ridicati carioca de pe muchie, pana cand ajungeti in punctul din care ati plecat.

Constatati ca toate punctele de margine ale benzii sunt colorate. Deci, suprafata are O SINGURA MUCHIE.
Asadar, banda lui Möbius este o suprafata cu o singura fata si o singura muchie, simplu rasucita.

Ce se intampla cu o foaie de hartie, daca o taiati pe jumatate? Se imparte in doua jumatati de doua ori mai inguste. Ce se intampla cu banda lui Möbius, daca o taiati pe jumatate?

Taiati banda dupa linia de pe mijlocul ei. (nu este grav daca nu puteti urmari linia intocmai, important este sa taiati de-a lungul benzii, nu de-a latul.)

Constatati ca obtineti o singura banda, de doua ori mai lunga.

Cate fete are? Trasati cu creionul o linie pe mijlocul benzii, pana cand ajungeti din nou de unde ati plecat. Constatati ca linia este trasa doar pe o parte, ceea ca inseamna ca s-a obtinut o suprafata cu DOUA FETE.

Cate muchii are? Ca si mai inainte, colorati cu o carioca punctele de margine, fara a ridica carioca de pe foaie. Constatati ca a ramas o margine necolorata, adica s-a obtinut o suprafata cu DOUA MARGINI.

Cate rasuciri are? DOUA.

Asadar, prin taierea de-a lungul a benzii lui Möbius se obtine o suprafata cu doua fete si doua margini, dublu rasucita.

Ce se obtine prin sectionarea acestei benzi de-a lungul ei? Acesata noua banda respecta toate proprietatile suprafetelor cu doua fete (de exemplu, ale benzii de hartie din care s-a construit banda lui Möbius): taiata pe jumatate, se obtin 2 benzi de acceeasi lungime, cu doua fete, cu doua muchii, dublu rasucite, dar de doua ori mai inguste (de 4 ori mai inguste decat banda lui Möbius). Doar ca sunt legate ca zalele unui lant. Si fiecare dintre ele, taiata de-a lungul, se desparte in doua benzi de aceeasi lungime, cu doua fete, cu doua muchii, dublu rasucite, dar de doua ori mai inguste decat banda din care s-au obtinut.

Creati o alta banda a lui Möbius. Alegeti un punct care sa nu fie pe mijlocul benzii (de exemplu, cam la o treime din latimea benzii) si trasati o linie paralela cu marginile (de-a lungul benzii). Cate benzi obtineti daca taiati acum banda dupa linia pe care ati trasat-o?

Taiati banda dupa linia trasata. Constatati ca s-au obtinut DOUA benzi. Verificati-le proprietatile.


Cea obtinuta in mijloc este tot o banda a lui Möbius, adica o suprafata cu 2 fete, 2 muchii, simplu rasucita, dar de latime mai mica decat banda initiala. Cealalta, obtinuta "pe margine", este o suprafata cu 2 fete, 2 muchii, dublu rasucita si de doua ori mai lunga.

***

Ce se intampla daca, atunci cand creati banda lui Möbius, in loc de o singura rasucire, ati fi incercat o tripla rasucire?
S-ar fi obtinut tot o suprafata cu o singura fata si o singura muchie. Incercati scum sectionarea acestei benzi de-a lungule ei. Ce obtineti? Ce proprietati regasiti?

***

Banda lui Möbius este cea mai simplã dintre structurile cu o singura fata. Luati o banda de hartie mai lunga si colorati colturile opuse ale unei fete cu aceeasi culoare. Puteti acum innoda aceasta banda oricum vreti, dar daca aveti grija sa suprapuneti culorile, veti obtine o suprafata cu o singura fata si o singura muchie.

Mai jos sunt reprezentate cateva noduri simple - suprafete cu o singura fata. Verificati-le proprietatile.
Prin sectionare se obtin suprafete foarte ciudate.


Pentru curiosii de profesie, si cei care nu s-au speriat inca, aici este reprezentarea matematica a benzii.